METODO DE ROUNGE KUTA

Existen varios metodos re rounge kuta todos ellos se clasifican segun el numero de pasos previos que se hacen.


ejemplo:

METODO DE HEUN

Este metodo utiliza un promedio de los valores que toma la funcion f(x,y) vajo los puntos Xi y Xi+1. de echo se le llama metodo trayector corrector, eso quiere decir que con el metodo de euler simple estima un valor en el punto Xi el cual denotamos de la sigiente manera.

predictor-- Yi+1=Yi+f(xi.yi)h

Enseguida utiliza una formula que se llama el corrector dada la siguiente formula el cual deveria de dar un valor mejor.


corrector--yi+1=yi+[f(xi,yi)+f(xi+1,yi+1)h/2]

ejemplo

METODO DE EULER SIMPLE

Existen varios metodos para resolver una ecuaciòn diferencial mediante programas de computadora el primero de llas se le llama "metodo de euler simple" a este metodo utilizamos la ecuacion diferencial.

la formula quedara de la siguiente manera:


ejemplo:

REGLA DE ROMBERS

Cuando usamos una n cada ves mas grande que sus intervalos el calculo de una inategral se mejora.

formula a utilizar:


este metodo lo convianos con la regla del trapecio para realizar el ejercisio


los resultados de los ejercisios los ponemos como se muestra acontinuaciòn, dentro de esto aplicamos la formula que al principio mensionamos y el resultado de la integral sera el resultado de la inegral

REGLA 1/3 DE SIMPSON

Usar este metodo al parecer da mejores resultados que la regla del trapeciol La formula resultante al aplicar esta formula es la siguiente.

Esta es la formula 1/3 de simpson esta formula representa una de las tantas que se les calsifica formulas de integracion de newton.

EJEMPLO


muy bien empesemos:
tomamos una n=10 que sera el numero de intervalos
ahora nos dice que la integral va de 1 hasta 2 para lo cual la h sera de

h=(2-1)/ 10 = .1

una ves que tenemos los indices tomamos la Xi como habiamos dicho de 1 hasta 2 pero aumentado .1 a partir de 1 hasta llegar a 2

luego introducimos los Xi puntos en la formula y el resultado lo multiplicamos por Xi.
ya que tenemos el resultado de la multiplicasion lo sumamos y el resultado lo dividimos como acontinuacion mostramos

I= (.1/3)(175.90477)=5.86349 que sera el resultado de la integral.

INTEGRACION NUMERICA

Una de los principales problemas de algunas persona es realizar una integral numericamente un poco dificil acontinuacion veremos una forma de realizar una integral
se le llama regla del trapecio.

en esta imagen nos muestra la manera de como podemos empezar sacando la regla del trapecio.
de hay concluiomos que.

h/2[f(x0)+2f(x1)+2f((x2)+2f(x3)....+f(xn)]


haora para poder realizar la siguiente operacion la realizamos con una calculadora cientifica y nos dara el siguiente resultado




ahora realizaremos el mismo ejercisio pero con la regla del trapecio:

POLINOMIOS DE NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS

Cuando tenemos n+1 higualmente esparcidos

(Es decir con el mismo tamaña de peso (h) entre cualquier par de ellos consecutivos, entonces el polinomios de newton.

tenemos que:

P(x)=f[X0]+(X-X0]f[x0,x1]+(x-x10)(x-x1)f[x0,x1,x2)+(x-x0)(x-x1)(x-x2)f[x0,x1,x2,x3]+
.....+(x-x0)(x-x1)(x-x2).....(x-x-n)f[x0,x1,x2....xn]

ejemplo

x0=5
x2=5 h=2

la formula autilizar
X=x0+hs

ejemplo
x=68.4

68.4=5+s(2)
s=68.4-5/2=31.7

sabemos que si tenemos un numero cualquiera lo podremos representar en terminos
del tamaño de peso y el numero inicial X0.

entonces sabemos las 2 cosas siguientes restando la segunda de la primera.
x=x0+hs
- xi=x0+hi esto seria higual a : x-xi=hs-hi=h(s-i)


en 1800 george bool escribio un libro sobre diferencia finitas, introduce un operador y lo llamo direfencias hacia adelante.




ejemplo:

aproxime la funcion tabulada en polinomio de newton en diferencias hacia adelante y uselo para calcular la presion de un compuesto a una temperatura de 98 grados farenhey

solución:

puntos temp presion
0 50 24.94
1 60 30.11
2 70 36.05
3 80 42.54
4 90 50.57
5 100 59.30


primero sacamos el polinomio


despues hacemos la sustitucion



produced by JM?

Metodo de interpolacion de newton

Isaac Newton trabanajdo con ciertos problemas de aplicasion se le presenta el problema de escribir un polinomio de grado n de la siguiente forma.


Isaac N. genero un metodo que se llama de diferencias divididas el origen de este metodo se plantea en el siguiente ejemplo.




para problemas de determinar polinomios de grado mas grande se utiliza un esquema de forma de la tabla.


luego realizamos la primera diferencia, tomando a X0 primero y a X1 depues


despues realizamos la segunda diferencia.


El resultado final de todo esto es que el polinomio de newton se puede escribir de la siguiente manera.
P(X)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1xx2](x-x0)(x-x1)+f(x0,x1,x2,x3](x-x0)(x-x1)(x-x2)...f[x0,x1,x2.....xn](x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-xn-1)

POLINOMIOS DE LAGRANGE

Lagrange se vaso en el resultado anterior de la interpolacion para buscar una manera alternativa al procedimiento anterior ya que ocupa mucho tiempo para el calculo.

ejemplo:
priemero se desarrolla una formula del polinomio de lagrange con los siguiente datos:



aqui la biscocidad se denota con la letra mu y se refiere a la biscosidad de petroleo cuando mientras la letra T mayuscula es la temperatura en grados centigrados.



aqui se muetra la formula luego determinaos que la viscocidad que alcanza el petroleo a una temperatura de 15 grados centigrados.

INTERPOLACION

mediante unos datos experimentales predecir comportamientos intermedios de fenomenos que estan asociados.

en esta seccion determinaremos formulas que nos permitan interpolar los valores intermedios entre datos previamente interpolados

-anlaogico o algebraico
-polinomios de lagrage
fierencias divididas de newton

en unidades posteriores utilizamos estas herramientas para generar metodos que nos permitiran calcular numericamente el valor de integrales,derivadas y que tambien nos permitiran resolver ecuasiones diferenciales de todo tipo.

comezaremos por el Metodo Algebraico
En este metodo esencial se plante a un sistema de ecuasiones aprovechando datos que tenemos:

(Xo,Yo)
(X1,Y1)
(X2.Y2)
. .
. .
(Xn,Yn)

Numeros Complejos

Los poliomios normalmente tienen raices complejas

regresando un poco para recordar los numeros complejos.

para determinar este tipo de raicez sabemos que hay una gran variedad de metodos y como realizarlo seria cuestion de cada persona con el metodo que sieta que es mas facil o mas rapido.

cuando acepta a+ib
tambien aceptara a-ib


los numeros complejos tienen las misma propiedades que los reales ejemplo:




A continuaciòn pondremos algunas notas que tienes mucha importancia enlos numero complejos:

Nota 1: no se te olvide que:


Nota 2: un numero complejo por su conjugado es:


Nota3: para realizar una divicion escriba:


Nota 4: los numeros complejos tienen todas la propiedades que conocemos con los numeros reales

Nota 5: Sobre la medicion de herror del calculo.

para medir el herror de calculo se apliza el concepto de modulo que se define como:



ejemplos de operaciones

Metodo del punto fijo

Se tiene que despejar a la variable independiente de tal manera que el problema de resolver la ecuación es el siguiente:


Es una función de busqueda y tiene que cumplir el problema de convergencia:



ejemplo: en este metodo seutiliza lo que ya sabiamos de lgunos otros metodos.
despejamos x


se comienza allenar la tabla:



higual al llegar a .0001 o dependiendo de la indicasion que de el profesor es hasta donde llegara la tabla:



oien otra forma de llegar es cuando Xr Y la ecuacion que estemos utilizando se encierren en un ciclo.

Metodo de la Secante

1.-El problema con el metodo de Newton-Rapson es que para poder realizarlo se deve de tener unabuena habilidad para derivar.

2.- Como segundo problema es que al realizar programa que deriven en matematicas es muy coplicado.


El metodo de la Secante representa una pisible salida a los problemas con el metodo de newton-Rapson,observe la siguiente demostracion.

Partamos de la ecuasion N-r



el resultado para la formula final seria loa siguiente:




ejemplo resolver el siuiente




En la siguiente tabla muestra el barrido de 0-5 con 10 intervalos
en donde bamos a encontrar la raiz


Aplicando la misma formula para cada iteracion tenemos:


una vez hecho esto hay que hacerlo para cada iteracion hasta terminar 10 o llegar a
.0001



cuando terminemos calsulamos la tablas de herror

Método de Newton-Raphson

la forma de alicar este metodo es higual que los anteriores

Para la recta tangente que se ve en la figura observe que:

dy/dx = m= cte

dy = mdx= F’(X0)(X- X0)

y – y0 = F’(X0)(X- X0)


Que es lo mismo que:

F(x)- F(X0) = F’(X0)(X- X0)

- F(X0) = F’(X0)(X- X0)

Despejamos X

X = (X0 - F(X0) / F’(X0))

Esta es la formula de aproximación de Newton-Raphson

Para aplicarlo antes debemos de indicar los valores de F(X0) y F’(X0) ya indicados los valores usamos la siguiente tabla para solucionarlos

Método de la Falsa Posición (Regula Falsi)

En tales condiciones una aproximación a la raíz en todas las condiciones una aproximación Xr se puede calcular mediante el siguiente metodo:

F(b) / B- Xr = F(a) / Xr – a

Despejamos Xr y obtenemos:
Xr = (F (b) a – F(a) b) / (F (b) – F(a))

Y a partir de aquí lo resolvemos de la misma manera que el método anterior (tabla)

El método de disección

El método de disección sigue el siguiente procedimiento:

 Localizas un intervalo que tenga una raíz: (a,b)
 Aplique la formula X0= a + b
 Verifique lo siguiente:
• F(a)= F(X0)
• F(b)=F(X0)
 Establecer un nuevo subintervalo
 Comienza otra vez

Ejemplo:

e-x- x2=0

pasos si E=(Xn + 1 + Xn/ Xn)< .001 o bien si n= 10

Para la solución de estos problemas usamos la siguiente tabla:







Explorar de (0,2) con n=10

H= 2 – 0 / 10 = 0.2
Xn= (a + b)/2

Xn = .6 + .8 / 2 = .70

Error .75 - .70 / .70 = .71